Bayes Teoremi Nedir?

İstatistik ve olasılık teorisinde, Bayes teoremi (aynı zamanda Bayes kuralı olarak bilinir), olayların koşullu olasılıklarını belirlemek amacıyla kullanılan bir matematiksel formüldür. Temel olarak, Bayes teoremi, bir olayla ilişkilendirilebilecek koşullar hakkında ön bilgiye dayanarak o olayın olasılığını tanımlar.

Bayes Teoremi Nedir?

18. yüzyılda yaşamış olan İngiliz matematikçi Thomas Bayes’e atfedilen bu teorem, koşullu olasılığı belirlemede kullanılan bir matematiksel formüldür. Koşullu olasılık, önceki belirli sonuçlara dayanan bir sonucun meydana gelme olasılığını tanımlar. Bayes teoremi, mevcut tahminleri veya teorileri güncel kanıtlarla gözden geçirme imkanı sunar.

Finans alanında, Bayes Teoremi, potansiyel borçlulara kredi verme riskini değerlendirmek amacıyla kullanılabilir. Aynı zamanda Bayes Kuralı veya Bayes Yasası olarak da bilinir ve Bayes istatistiklerinin temelini oluşturur.

Bayes Teoremini Anlamak

Bayes Teoremi’nin uygulama alanları oldukça geniştir. Sadece finansla sınırlı değildir; örneğin, bu teorem tıbbi test sonuçlarının doğruluğunu değerlendirirken, bir kişinin belirli bir hastalığa sahip olma olasılığını ve testin genel etkinliğini dikkate alarak kullanılabilir. Bayes teoremi, sonsal olasılıkları oluşturmak için önceki olasılık dağılımlarını birleştirir.

Önceki olasılık, yeni veriler toplanmadan önce gerçekleşmiş bir olayın olasılığıdır. Kısaca, bir deney yapılmadan önce mevcut bilgilere göre belirli bir sonucun olasılığının en makul değerlendirmesini oluşturur.

Arka olasılık ise yeni bilgi ışığında revize edilmiş olasılığı ifade eder. Bu, Bayes teoremi kullanılarak önceki olasılığın güncellenmesiyle hesaplanır. İstatistiksel bir bağlamda, sonsal olasılık, B olayının gerçekleştiği durumlarda A olayının meydana gelme olasılığı olarak tanımlanır.

Özel Durumlar

Bu şekilde, Bayes Teoremi, olayla alakalı veya olabilecek yeni bilgilere dayanarak o olayın olasılığını belirler. Ayrıca, belirli bir olayın meydana gelme olasılığının, yeni bilgilerin varsayılan doğru olduğu durumlarda, varsayımsal bilgilerin etkisiyle nasıl değiştiğini gösterir.

Örneğin, 52 kartlık bir desteden tek bir kart çekildiğini düşünelim.

Bir kartın kral olma olasılığı dört bölü 52’dir, yani 1/13 veya yaklaşık %7.69. Destede dört kral bulunduğunu göz önünde bulundurmalıyız. Diyelim ki, çekilen kartın bir yüz kartı olduğu öğreniliyor. Bir resimli kart olduğu dikkate alındığında, seçilen kartın kral olma olasılığı dörde bölünür; çünkü bir destede 12 resimli kart olduğu için bu oran yaklaşık %33.3’tür.

Bayes Teoremi Örnekleri

Aşağıda, Bayes Teoremi’nin nasıl uygulandığını gösteren iki örnek sunulmaktadır. İlk örnek, SASA Polyester Sanayi AS (SASA) kullanılarak bir hisse senedi yatırımında formülün nasıl çalıştığını gösterirken, ikinci örnek ise farmasötik ilaç testlerine yönelik bir uygulamayı içermektedir.

P(A) = A olayının gerçekleşme olasılığı

P(B) = B olayının gerçekleşme olasılığı

P(A|B) = B verildiğinde A’nın olasılığı

P(B|A) = A verildiğinde B’nin olasılığı

P(A∩B) = A ve B’nin birlikte gerçekleşme olasılığı
​

Bayes Teoremi Formülü

Bayes Teoremi, koşullu olasılık aksiyomlarına dayanmaktadır. Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın meydana geldiği şartlar altında gerçekleşme olasılığıdır. Örneğin, “SASA’nın hisse senedi fiyatı düşme olasılığı nedir?” şeklinde basit bir olasılık sorusu, koşullu olasılıkla daha da derinleştirilerek “BİST 100 endeksi düştüğüne göre SASA hisse senedi fiyatının düşme olasılığı nedir?” şeklinde sorulabilir.

B’nin gerçekleştiğine göre A’nın koşullu olasılığı şu şekilde ifade edilir:

A: “SASA fiyatı düşüyor” ise, P(SASA) SASA’nın düşme olasılığıdır; B: “BİST zaten düştü” ise, P(BİST) BİST’in düşme olasılığıdır. Bu durumda, koşullu olasılık şu biçimde okunur: “BİST’in düşüşü göz önüne alındığında SASA’nın düşme olasılığı, SASA fiyatının düşme olasılığı ve BİST’in BİST 100 endeksindeki düşüş olasılığına dayanmaktadır.”

P(SASA|BİST) = P(SASA ve BİST) / P(BİST)

P(SASA ve BİST), hem A hem de B’nin birlikte meydana gelme olasılığıdır. Bu durum, A’nın gerçekleşmesi durumunda B’nin gerçekleşme olasılığıyla çarpılan A’nın olasılığına eşittir, yani P(SASA) x P(BİST|SASA) şeklinde ifade edilir. Bu iki ifadenin eşitliği, Bayes Teoremi’ni oluşturur ve aşağıdaki şekilde yazılır:

eğer, P(SASA ve BİST) = P(SASA) x P(BİST|SASA) = P(BİST) x P(SASA|BİST)

o zaman, P(SASA|BİST) = [P(SASA) x P(BİST|SASA)] / P(BİST).

P(SASA) ve P(BİST) ise, SASA ve BİST’in ayrı ayrı düşme olasılıklarıdır.

Bu formül, P(SASA) hipotezinin olasılığı ile, BİST için verilen P(SASA|DJIA) hipotezinin kanıtını aldıktan sonra olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklar.

Bayes Teoreminin Sayısal Örneği

Bir sayısal örnek vermek gerekirse, %98 doğruluk oranına sahip bir uyuşturucu testi düşünelim. Yani, bu test çoğunlukla uyuşturucu kullanan biri için gerçek bir pozitif sonuç verir. Veya gerçek bir negatif sonuç gösterir.

Şimdi, insanların %0.5’inin ilacı kullandığını varsayalım. Rastgele seçilmiş bir kişi uyuşturucu için pozitif test sonucu alırsa, o kişinin gerçekten uyuşturucu kullanıcısı olma olasılığı aşağıdaki hesaplamalarla belirlenebilir:

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = %19.76

Bu durumda, Bayes Teoremi, pozitif bir test sonucu alınmasına rağmen bu kişinin uyuşturucu kullanmama olasılığının yaklaşık %80 olduğunu göstermektedir.

Bayes Teoreminin Tarihçesi Nedir?

Teorem, İngiliz Presbiteryen bakanı ve matematikçi Thomas Bayes’in çalışmaları arasında keşfedildi ve ölümünden sonra 1763’te Kraliyet Cemiyeti’ne sunularak yayımlandı. Uzun süre boyunca Boolean hesaplamaları lehine göz ardı edilen Bayes Teoremi, son dönemlerde artan hesaplama kapasitesi sayesinde yeniden popülerlik kazanmıştır.

Bu ilerlemeler, Bayes Teoremi uygulamalarının artmasına neden olmuştur. Günümüzde, finansal hesaplamalardan genetiğe, uyuşturucu kullanımı ve hastalık kontrolüne kadar geniş bir yelpazede olasılık hesaplamalarında kullanılmaktadır.

Bayes Teoremi Neyi Anlatır?

Bayes Teoremi, bir olayın meydana gelme olasılığının, başka bir olayın tespiti ile ilişkili koşullu olasılığının, ilk olayın olasılığıyla çarpılmasının eşit olduğunu ifade eder.

Bayes Teoreminde Ne Hesaplanıyor?

Bayes Teoremi, belirli bilinen olasılık değerlerine dayalı olarak bir olayın koşullu olasılığını hesaplar.

Bayes Teoremi Hesaplayıcı Nedir?

Bir Bayes Teoremi Hesaplayıcı, A ve B olaylarının önceki olasılıklarını ve B’nin A’ya bağlı olasılığını dikkate alarak, başka bir B olayına bağlı bir A olayının olasılığını hesaplar. Böylece bilinen olasılıklara dayanarak koşullu olasılıkları belirler.

Bayes Teoremi Makine Öğreniminde Nasıl Kullanılır?

Bayes Teoremi, veri setleri ile olasılık arasındaki ilişkiyi anlamak için faydalı bir yöntem sunar. Yani bu teorem, belirli gözlemlenen verilere dayanarak, belirli bir hipotezin doğru olma olasılığının, o hipotezin verileri gözlemleme olasılığı ile, verilerden bağımsız olarak hipotezin doğru olma olasılığı ile çarpımı olarak ifade edilebileceğini belirtir.

Son Sözler

Özetle, Bayes Teoremi bir test sonucunu alır ve bu sonucu, diğer ilgili olayların koşullu olasılıklarıyla ilişkilendirir. Yüksek olasılıklı yanlış pozitifler için, teorem nispeten daha gerçekçi bir sonuç olasılığı sunar.